rounddの日誌

rounddが何となく考えたことを形にするために文章にしたものをためておく場所。他人というより自分向け

『場の古典論』輪読補足（第2章8節）

相対論 物理 輪読

　以前、輪読wikiに書きました『場の古典論』の輪読資料の補足です。

ja.rindoku.wikia.com

　第2章の8節で考えた作用がなぜ最小値を持ちうるのか、についてです。これについては実は第1章の3節で議論されているのですが、そこで書き損ねて書く場所をなくしたのでここで書きます。まず、改めて今回考えている作用がどんな形をしているかを再確認しましょう。

\displaystyle\begin{eqnarray}S=-mc\int^{b}_{a}ds\\\ =-mc\int^{t_2}_{t_1}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt\end{eqnarray}

と書けます。3節ではこの積分の部分が v一定の時に極大値をとる、と書いてあります。本当でしょうか？

　それを確認するために、まずは単純な場合を考えてみましょう。具体的には積分の始点と終点で時刻が t_1から t_2に変わり、位置座標 xは変化しないという状況を考えましょう。

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速度を一定にしようとすると、必然的に v =0になります。それが青の経路です。この経路での作用積分は

\displaystyle\begin{eqnarray} S_{{\rm blue}} = -mc\int^{t_2}_{t_1}dt\\\ = -mc(t_2-t_1)\end{eqnarray}

と書けます。一方で、速度が一定でない赤の経路の作用を計算してみると（速度一定からのずれを \delta v(t) とおく）

\displaystyle\begin{eqnarray}S_{{\rm red}} = -mc\int^{t_2}_{t_1}\sqrt{1-\frac{(\delta v(t))^2}{c^2}}dt\\\ \geq -mc\int^{t_2}_{t_1}dt\\\ = S_{{\rm blue}}\end{eqnarray}

となります。こんなわけで青の経路において作用が最小になっていることが分かります。ここまでは『場の古典論』の第1章3節にも記述がありました。しかし、この議論を受けてこの後では「こうして、与えられた一対の世界点の間に取った積分 \int dsは、これら二つの点を結ぶまっすぐな世界戦に対して最大値を持つ」と言っています。僕の頭ガン部位だけなのかもしれませんが、これは下の図のような場合を議論に入れていないような気がします。

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　そこで、この場合についての議論を行ってみることにしました。具体的な問題設定は以下のようになっています。

「世界点 (t_1,x_1)から世界点 (t_2,x_2)までの経路で作用積分を計算することを考える。青の経路は、速度 vという一定の速度で進む経路である。この経路は x = v(t-t_1)と表現される。さて、この青の経路に少しの変分を加えた赤の経路でも作用を計算してみよう。これが青の経路において極小であることを示せるか」

　まず、青の経路に微小な変分を加えた経路をまず考えましょう。このような経路は x=v(t-t_1)+\varepsilon\xi (t)と書き表すことができます。気持ちとしては変分の性質を決めるのが \xi (t)で、変分の大きさを決めるのが \xi (t)ということです。また、境界の条件から \xi (t_1)=\xi (t_2) = 0であるとわかります。

　さて、この変分の大きさを0近づける、つまり \varepsilon \to 0していくことを考えましょう。変分を微小なものにするためです。そのときの作用の変化の仕方は \left.\frac{\partial S}{\partial \varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}で表されます。具体的にこれを計算する

\begin{eqnarray}\frac{\partial S}{\partial \varepsilon} = -mc\int^{t_2}_{t_1}\frac{\partial \dot{x}}{\partial\varepsilon}\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}\right)dt\\\  =mc\int^{t_2}_{t_1}\frac{\dot{x}/c^2}{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}\dot{\xi }(t) dt\\\ = mc\left.\frac{\dot{x}/c^2}{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}\xi (t)\right|^{t_2}_{t_1} -mc\int^{t_2}_{t_1}\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{x}/c^2}{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}\right)\xi (t)dt\\\ =mc\left.\frac{\dot{x}/c^2}{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}\xi(t)\right|^{t_2}_{t_1} -mc\int^{t_2}_{t_1}\frac{1}{c^2\left(1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}\right)^{3/2}}\varepsilon\ddot{\xi}(t)\xi(t)dt\end{eqnarray}

　これの第一項については、境界の条件から \xi (t_1)=\xi (t_2) = 0 であることを用いると0になります。第二項については \varepsilon \to 0とすると0になります。したがって \left.\frac{\partial S}{\partial \varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=0であるということが確認できました。

　これで終わりな気もしますが、正確にはまだ少し仕事が残っています。今回示したいのは作用が極小値をとること、です。今のところ示したのは1階微分が0になることで、これでは極大値の可能性もありますし、なんなら停留値ですらない可能性もあります。そこで今度は2階微分を計算してみましょう。

\displaystyle\begin{eqnarray}\frac{d^2 S}{d\varepsilon^2} = -mc\int^{t_2}_{t_1}\frac{\partial^2}{\partial\dot{x}^2}\left(\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}\right)\left(\frac{\partial\dot{x}}{\partial\varepsilon}\right)^2 dt\\\ = \int^{t_2}_{t_1}\frac{mc}{c^2\left(1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}\right)^{3/2}}\left(\dot{\xi}(t)\right)^2 dt\end{eqnarray}

となります。積分の中身ですが、どのような \xi (t)についても必ず正になります。1階微分が0、2階微分が正なので、結局考えていた青の経路での作用が極小値になるということになります。

　世界間隔の積分は作用と逆符号になるので、青の経路で極大値をとりますね。

　以上、少しややこしかったですが、第1章3節と第2章8節で述べられていることの補足を行いました。こんなにややこしいことが求められているのかは甚だ疑問ですが、ひとまずはこれで安心して先に進めますね。

Newtonの水桶（別解）

古典力学 物理 輪読

　以前『演習詳解 力学』の輪読wikiに「Newtonの水桶」という問題の資料を更新しました。今日はこれの別解を紹介しようと思います。

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　さて、上のリンクの解説では流体の体積要素を切り出して、そこの力のつり合いを考えました。それとあまり変わらない気もしますが、ここでは特に液面上の体積要素について考えてみましょう。この体積要素にかかる力は、回転する座標系では遠心力と重力と液面からの垂直抗力です。この3つが釣り合っていることを利用して力のつり合いが書けるはずです。

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ただし、θは液面の接線と容器の底がなす角になっています。つまりdz/dρ=tanθになるということです。以上の条件からθとfを消去すると

dz/dρ=Ω^2/g ρ

という微分方程式が出てきます。これを解くと同じ結果が出ます。

　さて、唯一気になる点があるとすれば、液面から受ける力を垂直抗力だと決めつけている点でしょう。直感的に考えると正しい仮定な気がします。しかし、流体の粘性まで考慮するとどうなのでしょうか？

　実は、粘性があっても結果は変わらないと考えられます。なぜかというと、粘性は流体にせん断応力が作用するときに始めて効いてくるものだからです。粘性が大きいと釣り合い状態に行くまでに時間と労力をかける必要があるかもしれませんが、一度釣り合い状態になったら粘性は効いてこないからです。

　流体力学の板書を見て考えているときに気付いたのですが、この問題は、流体が非圧縮性流体であるということを明記せずに使っていますね。まぁ、そんなことわざわざする必要もないのかもしれませんが。

座標系の回転・逆回転とローレンツ変換・逆変換

相対論 古典力学 物理 輪読

　以前こちら

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の1-4でローレンツ変換・逆変換について書きました。その際に「(ローレンツ)変換の逆変換を得るにはVを(-V)に置き換えればいいです。系Kから見て系K'が速度Vで動いているとき、系K'から見ると系Kは速度(-V)で動いていると考えられるからです」と書き、付け加えて「よく考えたらいきなりこのように考えるのは少し危険なのかもしれません。まだ得体のしれない空間や変換について考えているのにいきなりこのような推論をしてしまうのは少し怖いです。素直にローレンツ変換をx'とct'について解いた方が無難でしょう。」と述べました。

　一方でこちら

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の4-1では回転の逆変換は逆の角度の回転で代用できることを割とさらりと仮定しています（明示的ではありませんが、力の変換のあたりですね）。

　じっくり考えてみると、回転しているときに観察する角度と静止しているときに観察する角度が同じなのかちょっと不安になってきますね。座標に関してならまだそれを認めてよい気持ちになりますが、力を分解する際にもそれを持ち込んでよいのは、なんだか恐ろしいです（だって、回転によって慣性力とかいろいろ出てくるのに、力の成分の分解はほんとに何も影響を受けなくていいんですか！？）。相対論を勉強してNewton力学に戻ってくるとそのシンプルさと強力さに唖然としてしまいます。

　まぁ僕が細かいことを気にしすぎなのかもしれませんが。

（輪読Wiki

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にて『演習詳解 力学 第2版』と『場の古典論ー電気力学、特殊、および一般相対論』の輪読資料をちまちま更新しています。よければご覧になったり、参加してくだされば幸いです）

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今週のお題「私の『夏うた』」

合唱

今週のお題「私の『夏うた』」

    合唱人として、ここは合唱曲を上げておきたいと思います。「夏」「合唱曲」といえばやはりこの曲でしょう！

https://m.youtube.com/watch?v=T4ZWccoyb-k:レモンイエローの夏

    無伴奏の曲ですが、無伴奏にありがちなしっとりな感じではありません。とてもエネルギッシュで爽やかで、疾走感があります。でもよくよく歌詞を見てみると、ちょっと切ない気持ちにもなりますね。

    もう一曲、僕としては外せないのはこの曲です。

https://m.youtube.com/watch?v=i661uLNgrKM:夏の終わり

    偶然作曲者が被ってしまいましたね笑

    こちらの曲は「レモンイエローの夏」とは違い、夏が終わってしまうという切なさを切なく歌っています。一曲目よりはわかりやすい曲かもしれません。

    こうして考えてみると、夏の情緒というのは夏真っ盛りのときより夏が終わりかけたときにやって来るものなのかもしれませんね。その情緒というのは「楽しい夏を振り返って思い出に浸るとともに、夏が終わってしまうとそのような楽しみ方がまた一年間できなくなってしまうという寂しさ」から来るものだと考えられます。であるとするなら、夏の終わりを堪能するには夏そのものを楽しまないといけませんね！

ブログ、始めました。

運営

タイトル通り、ブログ始めました。

　普段、考えてることをきちんと文字に起こさないとふわふわとした思考しかできないので、文字に起こす場を確保することとそれを記録しておく場所を確保するのが目的です。

　普段書くであろうネタとしては「物理・数学」「音楽（特に合唱）」「本のレビュー」などがあげられます。と言っても多分これらに分類されないものもかなり出てくるんじゃないかなという気がします。まぁ、思ったことをまとめておくというのがこのブログの趣旨なのでそれでいいんじゃないかなという気がしますね。

　飽きっぽいのですぐに更新されなくなるかもしれませんが、それまではちまちま書いてみます。

　以上です。